Red Barnet vil blande religion ind i debatten om ikke-terapeutisk forhudsamputation.

 

Kære medarbejder hos Red Barnet-

Jeres argumenter mod ikke terapeutisk forhudsamputation af umyndige drengebørn, eller det, I benævner med eufemismen ”rituel omskæring” – således som I fremfører disse argumenter fra andet afsnit og indtil overskriften ”Dialog og information …” i Fælleserklæring fra Børnerådet, Red Barnet og Børns Vilkår om rituel omskæring af drenge forekommer ganske vist forholdsvis rimelige.

Desværre tilsidesætter tekstens anbefaling af dialog med de religiøse disse kritiskeudsagn.

For dengang korporlig afstraffelse blev forbudt, diskuterede man da først forbuddet med de dysfunktionelle familier, hvor disse overgreb fandt sted? Nej, man forbød simpelthen denne umoralske adfærd.

Selve talen om at ”inddrage børn og unge” i denne sammenhæng, så ”drengenes eget perspektiv bliver belyst”, er desværre også grotesk. Thi det er en retorik, der kun hører hjemme i en tale om børns skoleforhold, dagligdag og lignende. Men I foreslår åbenbart, at inddrage også lille Karen med spørgsmål af denne art: ”Synes du at nyfødte drengebørns forhud skal skæres af?”

Der findes ganske vist objektive sandheder i etikken også vedrørende ikke-terapeutisk forhudsamputation, men små børn kender hverken præmisser for eller konsekvenser af disse, så de kan naturligvis ikke bruges som rådgivere.

Tanken om overhovedet at diskutere såkaldt omskæring med de religiøse, der har denne beskæftigelse, forhudsofring, som et ritual, er naturligvis også naivt, da de religiøse ifølge dem selv har givet sandheden via deres ”tro”, dvs. ikke rationelt, som enhver diskussion forudsætter, men ud fra et eller andet ubekendt og påstået X, som de kalder ”gud” og altid kan påberåbe sig.

 

Jeg har indsat ovenstående kritik i en af mine blogs: http://praktisk-etik.blogspot.com/, og ser frem til at kunne gengive jeres svar på dette brev samme sted.

 

Med venlig hilsen

Ove Møbjerg Kristensen.

Fire af Zenons paradokser.

Denne tekst er foreløbig.

Indhold.

Fire af Zenons paradokser. 1

Resumé. 1

Indledning. 1

Dikotomiparadokset. 3

Achilleus. 4

Den flyvende pil. 6

De bevægende rækker. 8

Litteratur. 11

Artikler og afhandlinger. 11

Slutnoter. 12

Resumé.

Denne artikel behandler de følgende fire af Zenons paradokser: 1) Dikotomiparadokset, 2) Achilleus-paradokset, 3) Den flyvende pil og 4) De bevægende rækker.

Indledning.

Dikotomiparadokset og det om Achilleus er tidligere behandlet i 2 sammenhængende længere artikler (Jf. [Afhandling 8] og [Afhandling 8F]) og i nogle tidligere artikler, der er nævnt i litteraturlisten under ” Artikler og afhandlinger”.

Dikotomiparadokset har to fortolkninger, en højrerekursiv og en venstrerekursiv. Slægtskabet mellem det højrerekursive og Achilleus paradokset vises. (Jf. underafsnittet ”Det højrerekursive dikotomiparadoks” i Afhandling Nr. 8.)

Paradokset om den flyvende pil minder på den anden side umiddelbart om det venstrerekursive dikotomiparadoks, ifølge hvilken der ikke kan udpeges noget første sted, som det bevægende objekt når frem til.

Paradokset om de bevægende rækker, som er forklaret ret omstændeligt i Aristoteles gengivelse, handler derimod kun om konsistensen af en videnskabelig fiktion, men ikke om vor oplevede verden.

Dikotomiparadokset.

Dikotomiparadokset lyder således:

“... The first [paradox] asserts the non-existence of motion on the ground that that which is in locomotion must arrive at the half-way stage before it arrives at the goal...” (239b11) ([Kirk 70], p. 270, min kantede parentes.)

Hermed antydes det, at dette kan foregå vilkårligt mange gange, da det samme også gælder for den resterende strækning.

Nogle fremfører et modargument, der går ud på at opskrive et udtryk for summen af længden af de første n således beskrevne strækninger. Derpå fremføres det, at denne sum vil gå mod hele strækningens længde for n gående mod uendelig. Denne grænseværdi kaldes så for en ”sum”.

 0------------------------------1/2-------------3/4-----7/8------1

Jf. afsnittet ”Summation af uendeligt mange værdier” i Afhandling Nr. 8, hvori følgende fremføres:

”En grænseværdi af en sum af n tal for n gående mod uendelig er ikke en sum af uendeligt mange tal i nogen bogstavelig betydning, men er en værdi, som denne sum af n tal kan komme vilkårligt tæt på uden at komme længere væk senere (for noget tal højere end n).”

I stedet kan det indses, at efter gennemløbet af n sådanne strækninger, har den resterende strækning længden (½)ⁿ_, da den halveres efter hver af disse ankomster.

Dette illustrerer, at det er muligt at komme vilkårligt tæt på strækningens beregnede endepunkt uden at nå det. Der findes altså ikke noget tidspunkt før målet, hvor målet nås. Og i selve målet bliver målet ikke nået, for da befinder det bevægende objekt sig allerede i målet.

Achilleus.

Paradokset, der er kendt under navnet ”Achilleus og skildpadden”, er det paradoks, som Aristoteles kalder “the so-called ‘Achilles’”:

“In a race the quickest runner can never overtake the slowest, since the pursuer must first reach the point whence the pursued started, so that the slower must always hold a lead.” (239b14) ([Kirk 70], p. 272)

Dette paradoks er tilsyneladende blot en mere indviklet udgave af Dikotomiparadokset med et mål i bevægelse. Med dette bevægende mål som referenceramme, er det ikke væsentligt forskelligt fra dikotomiparadokset.

På common sense præmisser kan vi regne ud, hvornår den hurtigste løber indhenter den langsomste, således:

Lad os antage, at den hurtigste løbers hastighed er V, at den er G gange den langsomste løbers hastighed, og at forspringet var F ved begyndelsen af løbet.

Det kan da udregnes, at hele strækningen har længden

F’ = F * G / (G - 1).

Det betyder, at når den hurtigste løber når den langsomste løbers begyndelsespunkt, har han løbet F/F’ = (G - 1)/G af hele strækningen F’, og mangler 1/G af F’.

Strækningen F’ deles altså i forholdet (G - 1) til 1.

Efter n indhentninger resterer der (1/G)ⁿ af hele strækningen.

Dette paradoks illustrerer dermed det samme som dikotomiparadokset.

Når et objekt nærmer sig et langsommere objekt i samme retning som dette, kan det komme vilkårligt tæt på det forreste uden at nå det. Dvs. der er ikke noget punkt på linjen, hvor det forreste objekt indhentes, men kun et punkt, hvor det er allerede indhentet.

Lad os blot acceptere det common sense standpunkt, at et objekt, der bevæger sig med en jævn hastighed, vil bevæge sig efter ligningen:

s = v * t, hvor s = længden af den tilbagelagte strækning, v = objektets hastighed, t = forløbet tid.

Lad os desuden acceptere, at objektet derfor vil nå frem til tiden T = S / V.

Dette betyder, at en løber, der løber med en bestemt hastighed, vil løbe en strækning af en bestemt længde i løbet af en bestemt tid. Netop derfor foreligger der et paradoks. For vi kan ikke peget på noget punkt før målet, hvor det nås.

Den flyvende pil.

Dette paradox lyder således:

“Zeno argues fallaciously; for if, he says, everything always rests when it is against what is equal, and what is in locomotion is always in the now, the arrow in locomotion is motionless. But this is false, for time is not composed of indivisible ‘nows’, no more than is any other magnitude.” (239b30-33) ([Kirk 70], p. 273)

“The third [argument concerning motion] is the one just mentioned, that the arrow in locomotion is at rest. This follows from assuming that time is composed of ‘nows’; for if that is not granted, the conclusion will not follow.” (239b30-33) ([Kirk 70], p. 273)

 Zeno abolishes motion, saying “What is in motion moves neither in the place it is nor in one in which it is not.”’ ([Kirk 70], p. 273)

Vi kan her antage, at udtrykket “what is equal” refererer til den plads, som et objekt fylder.

Det er nærliggende at tænke, at naturligvis følger den plads, som et objekt fylder, med objektets bevægelse, og at der heraf følger, at den første præmis er forkert.

At et objekt bevæger sig, indebærer, at dets afstand til denne plads bliver positiv. Herved involveres den samme problematik som det venstrerekursive dikotomiparadokset påpeger. På denne måde ligner paradokset om den flyvende pil klart det venstrerekursive dikotomiparadoks.

Det må bemærkes, at uanset hvor kort vi kan konstatere, at objektet har bevæget sig fra det nævnte sted, er dette ikke at observere en bevægelse. For vi må skelne mellem selve vor sansning af et objekts bevægelse som sådan og den konstaterede ændring af et objekts position.

Bevægelse som sådan er derfor noget, vi sanser (i nuet), indbefattet dets forskellige aspekter, lige som vi har en sansning af farve. Selve vort indtryk af et objekts bevægelse er flygtigt og kan ikke fastholdes. Vi kan ganske vist følge det bevægede objekt, men så bevæger det pågældende objekt sig ikke relativt til vor fokus, naturligvis.

Det er tidligere, i Afhandlingerne Nr. 1-6, fremført, at det eneste, vi har at gøre med eller konfronteres, er nuet, med alt dets indhold.  Vi oplever således ikke hele turen af et objekts bevægelse fra et punkt A til et punkt B som sådan, undtagen når vi aktivt følger det, men selvfølgelig ikke på én gang.

Vi kan have 1) erindring om eller dokumentation af, at et objekt har befundet sig et bestemt sted på et bestemt tidligere tidspunkt. Vi kan ligeledes have 2) erindringer om, at et objekt har befundet sig på et bestemt sted på et bestemt tidspunkt før det erindrede eller noterede tidspunkt, og at vi efterfølgende har set det dukke op. Derfor kan vi have bestemte forventninger vedrørende punkt 1.

Vort billede af dette kan illustreres ved ovennævnte bevægelsesligning, som indebærer det beskrevne paradoks. Vi kan se bussen i bevægelse, når den dukker op ved hjørnet, men det billede, som bevægelsesligningen forsyner os med, kan ikke opfattes som en bogstavelig realitet, kun som en nyttig forestilling eller teoretisk konstruktion.

De bevægende rækker.

Dette paradox lyder således:

“The fourth is the one about equal bodies which move in opposite directions past equal bodies in a stadium at equal speed, the one row from the end of the stadium [towards us] and the other from the middle [away from us] – in which he thinks it follows that half the time is equal to [its] double. The fallacy consists in requiring that things which move at equal speed past a moving body and past a body at rest of equal magnitude take an equal time. But this is false. For example, let the stationary equal bodies be Α, Α …; let Β, Β … be those starting from the middle, equal in number and magnitude to them; let Γ, Γ … be those starting from the end, equal in number and magnitude to them [sc. the Αs], and equal in speed to the Βs. Now it follows that the first Β and the first Γ are at the end at the same time, as they [sc. the Βs and Γ s] move past each other. And it follows that the Γ [sc. the first Γ] has gone right past all of them [sc. the Βs], but the Β [sc. the first Β] past only half [what it passes, sc. the Αs]: so the time is half, for each is alongside each for an equal time. And at the same time it follows that the first Β has gone past all the Γs; for the first Γ and the first Β will be at opposite ends at the same time, because both are an equal time alongside the Αs. This then is his argument, and it depends on the falsehood we have mentioned.” ([Kirk 70], p. 275, min understregning.)

326 “Α = stationary bodies.

Β = bodies moving from Δ towards E.

Γ = bodies moving from E towards Δ.

Δ = starting-place.

E = goal.” ([Kirk 70], p. 275)

Vi behøver kun at antage, at formålet med paradokset er at bevise, at bevægelse er umulig, ved at bevise, at ideen om det involverer et paradoks.

Det må således bemærkes, at også en diskussion af en ældre tekst som denne handler om at uddrage et eventuelt budskab af den, et budskab, der har relevans her og nu. Udsagn om, at på sin tid var teksten så og så dybsindig, er ikke filosofisk relevant, men kun historisk.

Det har derfor ikke har mening at inddrage et begreb om forfatterens eventuelle intentioner med teksten, men derimod at diskutere, hvad den implicerer eller kan bruges til.[i]

Det meste af teksten handler om teknikaliteter, der, når de afdækkes, afslører den substans, at hver gang et B har passeret et A, har det passeret 2 Γ’er. Det betyder ifølge common sense, at hvis et B har bevæget sig med en længdeenhed per tidsenhed i forhold til rækken af A’er, så har det bevæget sig med to længdeenheder per tidsenhed i forhold til rækken af Γ’er, der bevæger sig med samme hastighed i den modsatte retning.

Men ifølge citatet tager det også den samme tid for et B at passere et Γ som at passere et A, da det hævdes, at hver passage af et andet objekt tager den samme tid.

Dette er ganske vist helt forkert ifølge common sense og videnskab. Men det må erindres, at mange matematikere mener, at Zenons fortælling om de to løbere blot indebærer, at den bagerste løber indhenter den forreste, og ikke andet. Måske begår undertegnede en lignende fejl, ikke med konstateringen i af denne fejltagelse, men ved at overse noget andet. Derfor må jeg forbeholde mig mit standpunkt.

Hvis vi derimod forestiller os, at vi har at gøre med en fiktion om naturens regularitet, i hvilken disse legemer kun kan bevæge sig en minimal længdeenhed ad gangen uden mellempositioner per minimale tidsenhed, så er det, der bliver sagt om B’ernes passage forbi A’erne, korrekt, isoleret set. Ligeledes er det, der bliver hævdet om B’erne og Γ’erne passage forbi hinanden korrekt, isoleret set, men samlet set indeholder de to forhold de nævnte inkonsistenser. Dette betyder dog blot, at denne frit opfundne konstruktion er selvmodsigende, med siger ikke noget filosofisk om virkeligheden.

Så alene af den grund er det uberettiget, når artiklens forfatter hævder, at dette paradoks har givet anledning til følgende spørgsmål:

“(…) if the distance a body moves is simply a function of its positions relative to other bodies, is there any absolute basis for ascribing movement to it at all?” ([Kirk 70], p. 276)

Desuden må der naturligvis besvares benægtende hertil, da ordet ”relativ” betegner det modsatte af absolut. Faktisk kan et legemes lineære bevægelse kun beskrives i relativt til et andet legeme. Så der findes ikke absolutte hastigheder.

Vi kan sammenligne situationerne ved anvendelse af det underforståede referencesystem og af et alternativt referencesystem.

Referencesystem: A-rækken.

Flytninger i længdeenheder per 2 tidsenheder.

A:  0

B: +2

Γ: -2

B’erne flytter sig her 2 længdeenheder til højre. Γ’erne flytter sig 2 enheder til venstre i referencesystemet A. Dette er to uafhængige flytninger uanset starttidspunktet: den samlede ændring af afstand bliver 4 enheder.

Referencesystem: Γ-rækken.

Flytninger i længdeenheder per 2 tidsenheder

A: +2

B: +4

Γ:  0

I referencesystemet Γ ses det tydeligt, at B’erne bevæger sig dobbelt så hurtigt som A’erne. Men det er det samme, der sker fysisk.

Litteratur.

[Kirk 83]          G.S. Kirk, J.E. Raven, M. Schofield: Philosophers, 2. ed., (Γambridge 1983)

[Salmon 70]        Wesley Γ. Salmon, ed.: Zeno’s Paradoxes
Bobbs-Merrill (Indianapolis & New York, 1970)

Artikler og afhandlinger.

[Afhandling 8]     Achilleus og skildpadden. Fra Afhandling Nr. 8.http://ovemk.blogspot.dk/2012/05/akilleus-og-skildpadden-en-henvisning.html

[Afhandling 8F]    Zenons løberparadokser.
http://ovemk.blogspot.dk/2015/05/zenons-lberparadokser.html

Tænkning og Achilleus: http://ovemk.blogspot.dk/2016/06/tlkning-og-achilleus.html

Achilleus uden matematik: http://ovemk.blogspot.dk/2016/02/achilleus-uden-matematik.html

Aktuaren og Achillus: http://ovemk.blogspot.dk/2015/10/aktuaren-og-achilleus.html

Zenons paradokser om bevægelse: http://ovemk.blogspot.dk/2015/10/zenons-pardokser-om-bevgelse-en-kort.html.

Zenons løberparadokser: http://ovemk.blogspot.dk/2015/05/zenons-lberparadokser.html

Achileus og skildpadden: http://ovemk.blogspot.dk/2012/05/akilleus-og-skildpadden-en-henvisning.html

Slutnoter.

---

[i] Det kan således overvejes, hvorvidt dette paradoks’ beskrivelsen af bevægelsen af de indgående ensartede objekter og placeringen af dem kan anvendes til at diskutere konsistensen af ideen om minimale længder og tidsenheder. Det er fremført, at en sådan antagelse kan bruges til at gendrive paradokset om de to løbere.

Dette er berørt i Appendiks ”A.2 Wisdoms fysisk baserede modargumenter” i afhandlingen En kritik af W.Γ. Salmons Zeno’s Paradoxes. Her nævnes, at

J.O. Wisdom fremfører som begrundelse for, at Zenons beretning er falsk, at Achilleus ganske vist kan nå hen til, hvor skildpadden var, og at dette kan gentages et antal gange, men på et tidspunkt passer beskrivelsen ikke længere på et fysisk kapløb ([Salmon 70] p. 85)

 Gennemførelsen af dette forudsætter dog, at denne idé er konsistent. Zenons argument kan da opfattes som et forsøg på at bevise dens inkonsistens.

På den anden side kan dette paradoks ikke bruges til at gendrive de to første paradokser, da ideen om minimale længder og tidsenheder ville indebære en lettere gendrivelig fortolkning end udeladelsen af den, f.eks. den nævnte matematiske fortolkning.

På idéens egne præmisser må det ligeledes bemærkes, at al bevægelse per definition er relativ til andre objekter. Det er således misvisende at sige, at A’erne er stationære. I stedet kan vi dog vælge A’erne som referencesystem.

Hvis vi alligevel går ind på præmisserne, kan vi (forsøgsvis) antage, at der findes sådanne minimale måleenheder, og at længden af hvert objekt er lig med en minimale længeenhed, og at den tid, det tager for et B at passere et A, er identisk med den minimale tidsenhed. Det må dog bemærkes, at en sådan idé kun er en fiktion, der hører hjemme i videnskabelig realisme, lige som Demokrits ideer gør.

Det må naturligvis bemærkes, at der er forskel på at tale om, hvad der sker i løbet af en specifik tidsenhed, og at tale om hastighed, dvs. hvad der sker per tidsenhed. Det sidste er blot en abstraktion i form af resultatet af en division. Hvordan skulle vi i øvrigt ellers tale om en hastighed, der er forskellig fra en længdeenhed per tidsenhed i dette univers?

Således kan vi godt tale om en hastighed, der er to længdeenheder per tidsenhed, eller ½ længdeenhed per tidsenhed, hvis det fortolkes således, at det blot betyder, at det varer to tidsenheder et flytte et element en længdeenhed.

Ifølge den refererede tankegang kan vi kun tale om hastigheder, der er en længdeenhed per tidsenhed. Sagen er imidlertid problematisk:

Hvis et minimalt objekt f.eks. passer tre objekter per tidsenhed, kan det ikke være ved siden af det midterste, men kun ved siden af det sidste.

Det kan da hævdes at være en begrundelse, at vi ikke kan bruge vor dagligdags erfaringer i denne (tænkte) mikro-verden.

Achilleus uden matematik.

16/2 2016.

Indhold

Achilleus uden matematik. 1

Ikke matematik, men tidsfilosofi. 1

Gengivelse af Zenons paradokser om bevægelse: 1

Misforståelser af paradokserne. 2

Fejltagelsen den let gendrivelige fortolkning. 3

Zenons budskab. 4

Den afgørende pointe. 4

Konklusion. 4

Efterskrift. 5

Litteratur. 5

Ikke matematik, men tidsfilosofi.

Zenons paradokser om bevægelse, dvs. det der kaldes ”Achilleus og skildpadden” og Dikotomiparadokset handler ikke om matematik, men om tidsfilosofi. Der indgår ganske vist matematik i denne artikel, men kun for at vise, at den er fejlanbragt.

Pointen med overskriften er, at matematiske analyser af disse såkaldte paradokser ikke er nødvendige for at fortolke dem.

Gengivelse af Zenons paradokser om bevægelse:

Paradokset om Achilleus og skildpadden er det paradoks, som Aristoteles kalder “the so-called ‘Achilles’”:

”In a race the quickest runner can never overtake the slowest, since the pursuer must first reach the point whence the pursued started, so that the slower must always hold a lead.” (239b14) ([Kirk 83], p. 272)

Dikotomiparadokset.

”Zenons dikotomiberetning” indgår som en del af dikotomiparadokset:

“... The first [paradox] asserts the non-existence of motion on the ground that that which is in locomotion must arrive at the half-way stage before it arrives at the goal...” (239b11) ([Kirk 83], p. 270, min kantede parentes.)

Zenons dikotomiberetning er simpelthen det sidste udsagn:

”that which is in locomotion must arrive at the half-way stage before it arrives at the goal” (239b11) ([Kirk 83, p. 270)

Misforståelser af paradokserne.

Et hyppigt fremført argument mod disse paradokser består i at bevise, at hvad der kaldes ”summen af længderne af de passerede strækninger” er lig med hele strækningens længde. Thi dette betyder ifølge tankegangen, at løbet afsluttes.

Argumentet forudsætter, at denne sum kan forstås som grænseværdien af summen af de første n strækninger for n gående mod uendelig. Dette er imidlertid ikke tilfældet, for per definition er en grænseværdi af en sum af n tal for n gående mod uendelig ikke en sum, men blot en værdi, som denne opsummering kan komme vilkårligt tæt på uden at komme længere væk for noget højere n. Derfor modsiger dette bevis ikke Zenons paradoks, men efterligner den snarere.

Der er kun tale om, at en funktion konvergerer mod en bestemt værdi, ikke at denne værdi bliver opnået. At fastholde, at denne værdi er et beregningsresultat, er derfor at ignorere den problematik, der er præsenteret i Zenons beretning.

Enten må vi forstå Zenons paradoks i en matematisk kontekst, eller også må vi forudsætte en common sense opfattelse af fysik og fysiske forhold. Men hvis vi forudsætter common sense, er der hverken grund til at modbevise Zenons paradoks om Achilleus og skildpadden eller dikotomiparadokset.

Thi det stemmer på forhånd med common sense, at Achilleus indhenter skildpadden. Vi kan ganske enkelt bruge formlen s = v * t, hvor s betegner længden af objektets passerede strækning, v objektets hastighed, og t betegner den forløbede tid. Hvis strækningens længde er S, når objektet i mål til tiden T = S / v.

Fejltagelsen den let gendrivelige fortolkning.

At forudsætte en common sense opfattelse er et tilfælde af Den let gendrivelige fortolkning. Denne består i ikke at vælge den vanskeligst gendrivelige fortolkning af et udsagn, man vil gendrive:

Når man kritiserer en argumentation, bør man i sandhedens interesse ikke vælge den lettest gendrivelige fortolkning af den, men den vanskeligst gendrivelige fortolkning. Thi når man har gendrevet den lettest angribelige fortolkning, har man stadigvæk ikke gendrevet den vanskeligst gendrivelige fortolkning.

En vanskeligere gendrivelig fortolkning kan opnås ved at fjerne underordnede detaljer i teksten, der kan føre til en gendrivelse.

Det kan fremføres mod paradokset, at det drejer sig om et endeligt antal skridt, eller at løberen vil nå sit mål, når hans afstand til målet er mindre end diameteren af et fysisk punkt, hvad det end er.

Disse indvendinger bortfalder, hvis paradokset fortolkes på en mere abstrakt måde, som en beretning, der foregår i en matematisk model tilføjet tid.

Zenons budskab.

Den afgørende pointe.

Det ses, at efter hvert af de beskrevne stadier er det bevægede objekts situation principielt uændret. Når der dertil tilføjes, at der ingen absolutte længder findes på linjen i et euklidisk rum, er situationen helt uændret efter hvert af disse stadier.

Eftersom tidspunkt og position følges ad efter den ovenfor angivne formlen s = v * t, gælder de citerede paradokser lige så vel for den forløbne tid som for den passerede strækning.

Konklusion.

Men hvorfor er den ovenfor givne beskrivelse s = v * t, ikke lige så god som Zenons beskrivelse af stadier?

Grunden er, at den ikke behandler overgangen fra fortid til nuet, men ignorerer den: Til tiden t = T er vi i nuet; før det tidspunkt var vi på vej til nuet, men overgangen til nuet beskrives ikke.

I modsætning hertil beskriver Zenons paradoks, hvorledes vi kan komme vilkårligt tæt på nuet uden at være der. Det ignorerer ikke spørgsmålet om overgangen fra fortid til nutid, men viser, at der er en dualisme mellem fortid og nutid.

I nuet oplever vi nuet, men tiden før nuet erindrer vi kun, eller snarere, den er kun erindringer.

Efterskrift.

Det må bemærkes, at Zenons paradokser også gælder for de enkelte strækninger, specielt for det første og endnu mere specielt for det første af de derved fremkomne strækninger. Dette ligner den alternative fortolkning af dikotomiparadokset:

For at nå i mål skal objektet nå til midtpunktet af strækningen. For at nå halvvejs til det punkt, skal det nå halvvejs dertil, etc. Lige som ovenfor kan vi om tidspunkter og varigheder lige som om punkter og længder. Vi kan forestille os et fremtidigt tidspunkt vilkårligt tæt på nuet, men ikke beskrive bevægelsen ud af nuet, overgangen fra nuet til fremtiden. Der forbliver en dualisme mellem nuet og fremtiden.

Dette paradoks er hverken afklaret eller forstået af common sense.

Litteratur.

[Kirk 83]          G.S. Kirk, J.E. Raven, M. Schofield: The Presocratic Philosophers, 2. ed.,
(Cambridge 1983)

[Salmon 70]        Wesley C. Salmon, ed.: Zeno’s Paradoxes
Bobbs-Merrill (Indianapolis & New York, 1970)

[Afhandl. Nr. 8]   http://filosofisk-debat.blogspot.dk/2013/01/afhandling-nr-8.html

[Zenon kort]       http://ovemk.blogspot.dk/2015/10/zenons-pardokser-om-bevgelse-en-kort.html

Links til flere af mine danske hjemmesider:

Etisk kritik af faktisk forekomne handlinger og holdninger.

Kritik er velset.
http://praktisk-etik.blogspot.dk/
- - -

Afhandlinger. Mine filosofiske Afhandlinger nr. 1-8 vedrørende anti-introduktionisme.
https://wordpress.com/posts/antiintroduktionisme.wordpress.com
- - -

Afhandlinger. Mine filosofiske Afhandlinger nr. 1-8 vedrørende anti-introduktionisme.
Her findes de også i Word-udgave.
https://sites.google.com/site/antiintroduktionisme/

Omskrevet 21/3 2016.

---

Indhold

Aktuaren og Achilleus. 1

Bedrevidende overfladiskhed: 1

Den originale tekst. 2

Princippet om den vanskeligst gendrivelige fortolkning. 2

Kort gennemgang af aktuarens opfattelse. 3

Kritikken af aktuarens opfattelse. 4

Aktuarens afsluttende kommentar. 5

Betydningen af Zenons paradokser med løbere. 5

Litteratur. 6

Aktuaren og Achilleus.

Denne artikel er en kritik af indlægget ”Når humanister laver matematik” forfattet af pseudonymet ”mwm” i 17 årgang, nr. 1 oktober 2003 af tidskriftet ”Famøs”. Dette skrift beskrives som ”Fagblad for Aktuar, Matematik, - Økonomi og statistik”[1].

Artiklen gennemgås tilsyneladende uforholdsmæssig detaljeret, men dette skyldes, at den er et skoleeksempel på

Bedrevidende overfladiskhed:

mwm refererer en version af paradokset om Achilleus og skildpadden fra en artikel i “Politikens bog om de store filosoffer” (Politikkens forlag, 1999). Efter at have accepteret selve beskrivelsen refererer mwm artiklens påstand om, hvor uløseligt og ulogisk dette paradoks forekommer, og gør opmærksom på, hvor træt han er ved tanken om, ”at de ca. 2500 års matematisk udvikling, der adskiller Zenon fra os, tilsyneladende er gået fuldstændig ubemærket hen over hovedet på verden uden for det matematiske samfund”.

For ifølge mwm kan vi nu forklare ”de (åbenbart) uvidende masser om, hvad der egentligt skete, da Achilleus og skildpadden løb om kap.”

De må hertil bemærkes, at også uddannede matematikere og andre med forstand på matematik har skrevet om Zenons løberparadokser (Jf. [Salmon 70]), samt at den matematiske udvikling, som mwm refererer til, nemlig konvergensbegrebet, ikke er nødvendig for at bevise det, som mwm, vil bevise.

Endelig er disse såkaldte paradokser ikke først og fremmest matematiske ”gåder”, man har et filosofisk budskab, som kritikerne desværre unddrager sig forståelsen af. For at sætte de følgende udredninger i perspektiv, skal det allerede her oplyses, at dette filosofiske budskab handler om overgangen mellem vor nuværende situation og et fremtidigt tidspunkt, eller set på en anden måde, hvordan vi er kommet fra fortiden til nuet.

Den originale tekst.

Det må bemærkes, at i stedet for at se på den meget populariserede version af dette paradoks er det mere afklarende at fokusere på en oversættelse af den originale, klare og kondenserede tekst. Paradokset om Achilleus og skildpadden er det paradoks, som Aristoteles kalder “the so-called ‘Achilles’” og refererer således:

“In a race the quickest runner can never overtake the slowest, since the pursuer must first reach the point whence the pursued started, so that the slower must always hold a lead.” (239b14) ([Kirk 83], p. 272)

Desuden er det afklarende at anvende princippet om den vanskeligst gendrivelige fortolkning. Så denne beskrives allerede her:

Princippet om den vanskeligst gendrivelige fortolkning.

Når man kritiserer en argumentation, bør man i sandhedens interesse ikke vælge den lettest gendrivelige fortolkning af den, men den vanskeligst gendrivelige fortolkning. Thi når man har gendrevet den lettest angribelige fortolkning, har man stadigvæk ikke gendrevet den vanskeligst gendrivelige fortolkning.

Denne idé om at gå til selve sagen fører desuden lettest til den mest frugtbare fortolkning. Thi herved kan vi koncentrere os om sagen selv og undgå nytteløse spekulationer over, hvad forfatteren mon har tænkt.

Der kan opnås en vanskeligere gendrivelig fortolkning ved at fjerne kritisable, men underordnede detaljer i teksten.

For at få det fulde udbytte af Zenons beretning må den derfor forstås abstrakt, som noget der foregår i en matematisk model tilsat tid.

Kort gennemgang af aktuarens opfattelse.

I den populære version kaldes den hurtigste løber Achilleus og den langsomste ”skildpadden”. mwm benævner forholdet mellem skildpaddens og Achilleus hastighed r og konkluderer[2], at efter hver indhentning bliver skildpaddens forspring formindsket med faktoren r, men aldrig 0.[3]

Heraf drager aktuaren følgende overraskende konklusion:

”Når det bliver formuleret sådan, er det pludselig klart, at Zenon konkluderer mere, end han har belæg for. Han har ganske vist udpeget uendeligt mange tidspunkter, hvor Achilleus ikke passerer skildpadden, men derfor kan han ikke slutte, at det aldrig sker.”

Det er tydeligvis lige omvendt, hvis vi fastholder den fortolkning, at vi har at gøre med en matematisk model, dvs. ikke blander fysiske forhold ind i den. I så fald er løberens situation efter hver passage den samme som umiddelbart før passagen.

Derfor kan Zenons beretning kun omhandle en halvåben linje, der er åben ved det beregnelige mødetidspunkt. Dette betyder, at den hurtigste af løberne ikke indhenter den langsomste indenfor Zenons beretning.

Det er på denne måde, at denne beretning ikke er et paradoks, matematisk og logisk set.

Herved er vi allerede i nærheden af en fortolkning.

Kritikken af aktuarens opfattelse.

Hvad der her sker kan sammenlignes med, at funktionen g(n) = n/(n + 1), der konvergerer mod 1 for n gående mod uendelig, aldrig opnår værdien 1. Dette er et matematisk faktum, og herom vil ingen matematiker sige, at ”derfor kan man ikke slutte, at det aldrig sker”.

Rent matematisk er det, der bliver klart vedrørende paradokset, tværtimod at der forbliver en afstand mellem de to bevægende objekter – vel at mærke inden for det refererede tidsinterval i Zenons beretning.

Desværre forklarer mwm ikke, om han/hun mener, at hans/hendes påstand er klart sand, fordi han/hun opfatter den som en fysisk bevægelse. Sådan behøver beretningen som nævnt ikke at fortolkes.

Hvis det ikke er en abstrakt problemstilling, vi ser på, men en fysisk, er der så mange andre måder at undslippe paradokset på. Således berører mwm selv, at man blot kunne løse en simpel bevægelsesligning for, hvornår Achilleus indhenter skildpadden. Så hvis man vil benytte sig af en af disse måder, er der slet ingen grund til at beskæftige sig med paradokset.

Desuden må man søge at finde frem til dets budskab af filosofisk art. Dette budskab viser sig som nævnt at angå vor opfattelse af tid, nemlig at denne opfattelse er mangelfuld og hvordan:

Det Zenon tydeliggør er, at vi fra fortiden kan komme tættere og tættere til nuet uden nødvendigvis at komme til nuet (analogt med, at vi fra nutiden kan komme til et fremtidigt tidspunkt etc.). Thi i Zenons beretning beskæftiger vi os kun med et åbent interval, der ikke indeholder nuet.

Dette er uddybet og forklaret i

Afhandling Nr. 8:

http://filosofisk-debat.blogspot.dk/2013/01/afhandling-nr-8.html

og i ”fortsættelsen” Zenons løberparadokser: http://ovemk.blogspot.dk/2015/05/zenons-lberparadokser.html

Aktuarens afsluttende kommentar.

Åbenbart må mwm mene, at hermed er alt sagt, for mwm forsætter, som om det følgende er en supplerende bemærkning:

”Som en ekstra krølle på historien ved vi også, (men Zenon gjorde nok ikke) at følgen af t_n’er konvergent med grænseværdi [...] = S(0)/(1-r),” (Min forkortelse.)

Men en reel grænseværdi af en sum af n tal for n gående mod uendelig er ikke en sum af uendeligt mange tal i en eller anden bogstavelig betydning, men er en værdi, som denne sum af n tal kan komme vilkårligt tæt på uden at komme længere væk for noget højere n.

Herefter beviser mwm, at følgen af afstande konvergerer mod grænseværdien 0 for n gående mod uendelig.

Men dette er egentlig overflødigt, eftersom mwm allerede har konstateret, at den langsomste løbers forspring bliver formindsket med faktoren r efter hver indhentning, og derved kommer vilkårligt tæt på 0.

Betydningen af Zenons paradokser med løbere.

Hvorfor skal vi beskæftige os med Zenons løberpardokser? Ikke fordi de er drillegåder, men fordi:

1) Man kan ikke vide, hvilket udbytte en granskning af paradokserne vil indebære.

Her er det godgjort, at vi ikke kan påvise nogen overgang fra fortiden til nutiden. Vi oplever ikke en sådan overgang, men i nuet er vi i nuet. Der hersker dermed en dualisme mellem fortid og tid.

2) Det er menneskeligt eller intellektuelt uværdigt at lade undersøgelser ligge, fordi man bagatelliserer dem.

Litteratur.

[Kirk 83]          G.S. Kirk, J.E. Raven, M. Schofield: The Presocratic Philosophers, 2. ed.,
(Cambridge 1983)

[Salmon 70]        Wesley C. Salmon, ed.: Zeno’s Paradoxes
Bobbs-Merrill (Indianapolis & New York, 1970)

---

[1] Jf. http://www.famosweb.org/arkiv/17-1.pdf.

[2] Faktisk hævder mwm, at Zenon konstaterer, dette. men Zenon citeres rent faktisk ikke for i beretningen.

[3] Idet mwm implicit betegner starttidspunkterne for de successive indhentninger n = 0, 1, 2, … fremfører mwm følgende argumentation, hvor S(0) betegner det oprindelige forspring, og t_n betegner tidspunktet for afslutningen af den n+1’te passage:

”Det generelle system anes nu: Zenon danner en følge af tidspunkter t₀, t₁, t₂, ... givet ved forskriften

t_n = (∑ⁿ_i=0 rⁱ) S(0).

Derefter konstanterer han, at hver gang n forøges med 1 bliver afstanden S(t_n)−A(t_n) ganget med r, (...) men den bliver aldrig lig 0. Zenons argument kan nu gengives således:

Der findes intet n ∈ N, så S(t_n)−A(t_n) = 0,

ergo findes der intet t ∈ R+, så S(t)−A(t) = 0.”